Elipses - Cônicas e Quádricas: Resumo e Exercícios Resolvidos (2023)

Bora começar a aquecer nossos neurônios sobre elipses!! Hehe

Temos quatro itens cada um com uma expressão de uma elipse e em cada item devemos determinar: vértices, focos, excentricidade e fazer um esboço.

Vamos comerçar!!

a)

Para começarmos esse exercício precisamos colocar a expressão na forma reduzida, ou seja, desse jeito:

Porque assim conseguiremos determinar os valores de e que precisamos para achar os elementos que queremos.

Então, vamos começar!!

Dividindo tudo por , temos:

Como deve ser sempre maior que , então:

Como deve ser maior que e está embaixo do então significa que estamos no caso 1, e teremos uma elipse com o seguinte formato:

Pela figura, conseguimos determinar os focos e vértices

Temos o valor de e , mas para determinar os focos precisamos de . Mas, como vamos achar ?

Para achar vamos usar a seguinte relação das elipses: . Subsituindo os valores de e , temos:

Repare que o resultado seria , porém como e são distânciasnão faz sentido o valor negativo.

Agora sim, temos tudo o que precisamos é só substituir os valores e encontrar os focos, vértices e excentricidade.

E fazendo um esboço, temos:

b)

O passo a passo é o mesmo do item anterior, começamos escrevendo na forma canônica:

Como o maior denominador está sobre o teremos a elipse do mesmo jeito do caso anterior, ou seja, caso 1:

Sendo o maior valor , então:

Utilizando a relação :

Substituindo esses valores a seguir:

Subsituindo, temos:

Esboçando:

c)

Colocando na forma canônica:

Agora, o maior valor do denominador está dividindo o . Isso indica que estamos no CASO 2, assim nossa elipse terá o seguinte formato:

Sabendo que nossa elipse é assim, sabemos que nossos focos e vértices, serão:

Para determina-los precisamos calcular e .

Para encontrar esses valores continuamos a fazer o mesmo procedimento. Assim, o valor de é sempre referente ao maior denominador que é , então:

Usando a relação que é válida para qualquer elipse, temos:

Agora, podemos achar focos, vértices e a excentricidade:

Esboçando:

Ufa!! Só falta mais uma!! Uhuuulll

d)

Colocando na forma canônica:

O maior valor do denominador está devidindo o , logo estamos no CASO 1:

Então, nossos valores de e são:

Tendo os focos, vértices e excentricidade em função de e , temos:

Substituindo:

Para finalizar falta esboçar!!

Terminamooossss!!!

a)

b)

c)

d)

Esse exercício é o inverso do que fizemos antes, ou seja, agora temos vários dados sobre a elipse e queremos determinar sua equação.

Dados:

• Eixo maior é paralelo ao eixo dos
• Centro
• Excentricidade
• Eixo menor de medida , ou seja,

Vamos agora utilizar os dados que tiramos do problema para achar a equação da elipse. Primeiro, em qual dos 3 casos estamos?

Bem, para verificar isso vamos olhar para o centro , nosso centro não está na origem , logo é uma elipse transladada. Estamos no caso 3. Assim, teremos uma das equações abaixo.

Qual delas se encaixa no nosso problema?

Bem, como o enunciado nos diz que o eixo maior é paralelo ao eixo dos , então a equação da nossa elipse tem o seguinte jeitão:

Agora, precisamos encontrar o valor dos parâmetros e . O valor de nós conseguimos saber por meio da informação de que o eixo menor mede , então:

O valor de , achamos pela excentricidade:

Sabendo a relação entre e e a relação , achamos :

Bom, e já achamos, mas e e ?

Para achar esses valoresvamos utilizar a última informação que temos que é referente ao centro da elipse estar em , numa translação, o centro está em:

Portanto,

Agora sim, que temostodos os valores, basta substituirmos na expressão . Sendo:

Teremos:

Arrumando:

Para começar, vamos completar quadrados para deixar a expressão na forma reduzida ou canônica da elipse:

Dividindo tudo por :

Pronto!! Chegamos na forma canônica!! Mas, estamos no CASO 3, translação!!

Vamos seguir nossa receita de bolo!! Agora, que já temos a expressão na forma reduzida, vamos passar para o sistema e retirar os dados.

Para passar para o sistema vamos considerar:

Substituindo essas relações, teremos:

Analisando a expressão, percebemos que o maior denominador está sobre o , então isso significa que nosso eixo maior está sobre o eixo , assim estamos no caso 1.

Então, temos que:

E como na elipse temos a relação

Com esses valores conseguimos determinar o que precisamos no sistema . Temos que:

E que a excentricidade vale .

Substituindo os valores de e , temos no sistema :

Para finalizarmos nosso exercício precisamos fazer o último passo da receita, ou seja, passar do sistema para . Para isso, vamos usar as relações:

Fazendo as mudanças teremos:

Fazendo a mesma mudança para os demais vértices, temos:

Para fazemos o mesmo procedimento:

A excentricidade como não depende de então ela não muda

Agora sim, terminamos!!!