Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (2022)

Hier siehst du zwei Stifte. Diese können unterschiedlich zueinander liegen. Eine spezifische Position der Stifte zueinander wäre, dass sie orthogonal liegen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (1)Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (2)

Doch was bedeutet das? Im Folgenden wird Orthogonalität definiert und anhand von Beispielaufgaben verdeutlicht. Am Ende kannst du selbst noch einige Aufgaben dazu lösen.

Orthogonalität – Definition

Orthogonal bedeutet so viel wie senkrecht. Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die in ihrem Schnittpunkt senkrecht aufeinander stehen. Auch Geraden oder Ebenen können orthogonal sein. Sie schließen zusammen einen Winkel von 90° ein, sind also rechtwinklig. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, dann ist ihr Skalarprodukt immer 0.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (3)

Betrachte noch einmal die Stifte aus der Einleitung. Diese verhalten sich im Grunde wie zwei Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (4) zueinander.

Wenn du sie in ein Koordinatensystem legst und sie orthogonal zueinander liegen sollen, dann gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Die Einfachste wäre, die Stifte auf die x-Achse und die y-Achse zu legen, denn diese schließen bereits einen rechten Winkel ein.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (5)

Abbildung 1: orthogonale Vektoren

Woher stammt der Begriff "orthogonal"?

Das Wort kommt vom griechischen orthogenios, was richtig angewinkelt bedeutet. Das ergibt Sinn, denn die beiden Vektoren schließen, wenn sie orthogonal sind, in ihrem Schnittpunkt einen rechten Winkel ein. Sozusagen einen richtigen Winkel.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (6)

Orthogonale Vektoren

Wie die Orthogonalität hergeleitet und auf welche verschiedene Arten sie in der Praxis umgesetzt werden kann, wird nachfolgend erklärt.

Herleitung orthogonaler Vektoren

Woher weißt du, dass Vektoren immer orthogonal sind, wenn das Skalarprodukt null ist? Schaue dir dazu die Herleitung dieser Formel an.

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt:

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (7)

Wenn du nicht mehr weißt, wie diese Formel zustande kommt, lese dir doch unseren Artikel zum Thema Skalarprodukt durch.

Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen, dann sind sie senkrecht und schließen somit einen Winkel von 90° ein. Diesen 90° Winkel kannst du für φ (phi) einsetzten.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (8)

Wenn du es nicht auswendig weißt, dann kannst du den Kosinus von 90° in deinen Taschenrechner eingeben. Du wirst sehen, dass die Lösung dazu null ist. Wenn du das in die Formel einsetzt, dann ist auch, unabhängig von den Werten der Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (9), der rechte Faktor der Formel null.

(Video) Vektor bestimmen, der orthogonal (senkrecht) ist | Mathe by Daniel Jung

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (10)

Damit bist du wieder bei der Anfangsbehauptung: Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, ist deren Skalarprodukt immer 0.

Berechnung orthogonaler Vektoren

Im folgenden Beispiel lernst du, wie du überprüfen kannst, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander liegen.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob die Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (11) und Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (12) orthogonal zueinander sind.

Lösung

Als Erstes musst du dir überlegen, wie die Orthogonalität zweier Vektoren bewiesen werden kann. Dafür kannst du dir die Formel von oben aufschreiben:

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (13)

Im nächsten Schritt setzt du die gegebenen Vektoren in die Gleichung für die Orthogonalität ein.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (14)

Für den nächsten Teil musst du wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (15)

Zur Wiederholung: Das Skalarprodukt wird berechnet, indem die Komponenten reihenweise addiert werden:

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (16)

Zum Schluss musst du nur noch das Ergebnis berechnen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (17)

In diesem Fall stimmt das Ergebnis, weshalb die Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (18) orthogonal zueinander sind.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (19)Abbildung 2: orthogonale Vektoren a und b

Orthogonale Vektoren bestimmen

Was machst du, wenn du einen Vektor gegeben hast und einen dazu orthogonalen Vektor finden sollst? Im folgenden Abschnitt lernst du genau das.

Aufgabe 2

Gebe einen Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (20) an, der orthogonal zum Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (21) ist.

Lösung

Als Erstes kannst du dir die Formel für die Orthogonalität zweier Vektoren aufschreiben.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (22)

(Video) ORTHOGONALE Vektoren bestimmen – Senkrechter Vektor im Raum, Skalarprodukt, Kreuzprodukt

Als Nächstes musst du den Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (23) in die Formel einsetzen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (24)

Danach kannst du diese Formel auflösen und setzt dabei für den Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (25) einfach Variablen ein.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (26)

Für zwei der Variablen des Vektors Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (27) kannst du dir beliebige Werte aussuchen, den anderen Wert kannst du dann passend dazu berechnen. In diesem Fall nimmst du Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (28) und Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (29).

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (30)

Du kannst hier alles nehmen, außer den Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (31), da dieser ja keine Länge hat und daher keinen 90° Winkel mit dem Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (32)einschließen kann.

Jetzt kannst du weiter auflösen und alle Zahlen auf eine Seite schreiben.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (33)

Danach musst du weiter nach Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (34) auflösen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (35)

Jetzt hast du alle Werte für den Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (36) und kannst diesen aufschreiben.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (37)

Der Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (38) liegt orthogonal zum Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (39).

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (40)Abbildung 3: orthogonale Vektoren

Hier gibt es unendlich viele Lösungsmöglichkeiten, da du dir zwei der drei Komponenten aussuchen kannst. Dies ist nur eine mögliche Lösung.

Vergleich orthogonaler Vektoren und nicht orthogonaler Vektoren

Doch wie sehen zwei Vektoren aus, wenn sie nicht orthogonal zueinander sind? Wie sieht dann eine entsprechende Zeichnung davon aus? Und wie erkennt man das in der Rechnung?

Graphischer Unterschied

Im Drei-Dimensionalen ist es oft schwer einschätzbar, ob zwei Vektoren orthogonal sind oder nicht. Deswegen berechnest du die Orthogonalität dieser Vektoren. Dagegen kann man im Zwei-Dimensionalen oft auf den ersten Blick oder durch Messen erkennen, ob zwei Vektoren orthogonal sind oder nicht.

Nehme wieder die Stifte aus der Einleitung. Im ersten Beispiel lagen die Stifte orthogonal zueinander, weil sie genau auf der x- und der y-Achse lagen und diese immer einen 90° Winkel einschließen. Liegen die Stifte aber wie in folgender Abbildung, dann sind sie nicht orthogonal, da sie keinen 90° Winkel mehr einschließen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (41)Abbildung 4: nicht-orthogonale Vektoren

Du kannst also immer mit deinem Dreieck messen, ob die gegebenen Vektoren einen 90° Winkel einschließen. Ist das der Fall, dann sind die Vektoren orthogonal. Ist der Winkel kleiner oder größer als 90°, so sind die Vektoren nicht mehr orthogonal.

Es gibt eine Position der Vektoren, in der sie sich gar nicht mehr schneiden. In diesem Fall sind die beiden Vektoren dann parallel zueinander (||).

Unterschied bei der Berechnung

Durch eine Berechnung ist es leicht zu überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Wie du oben bereits errechnet hast, sind Vektoren dann orthogonal, wenn deren Skalarprodukt 0 ergibt.

Ergibt das Skalarprodukt einen anderen Wert als 0, so sind die Vektoren auch nicht orthogonal.

Wenn zwei Vektoren parallel sind, dann sind sie voneinander Vielfache.

Im Folgenden kannst du das an einem Beispiel prüfen.

(Video) Orthogonalen Vektor n zu zwei gegebenen Vektoren bestimmen | 2 Skalarprodukte by einfach mathe!

Aufgabe 3

Sind die Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (42) und Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (43) orthogonal?

Lösung

Als Erstes setzt du wieder die Werte in die Formel ein.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (44)

Anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren bilden und die Gleichung weiter auflösen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (45)

Wie du siehst, stimmt das Ergebnis nicht, denn 24 und 0 sind ungleich. Daher kann auch gesagt werden, dass die beiden Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (46) nicht orthogonal sind.

Orthogonale Geraden und Ebenen

In Aufgaben rund um die Orthogonalität geht es meistens nicht direkt um Vektoren, sondern um Geraden oder Ebenen. Denn auch diese können orthogonal zueinander liegen.

Für Geraden kannst du dir merken:

Zwei Geraden g und h sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ist. Das bedeutet:

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (47)

Für Ebenen kannst du dir merken:

Zwei Ebenen E und F sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren 0 ist. Das bedeutet:

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (48)

Für eine Gerade und eine Ebene kannst du dir merken:

Eine Ebene E und eine Gerade g sind orthogonal, wenn der Normalenvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade ist. Das bedeutet:

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (49)

Wenn du diese Zusammenhänge kennst, dann kannst du ganz einfach prüfen, ob zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander liegen. Zudem kannst du dann Ebenen oder Geraden aufstellen, die orthogonal zu einer gegebenen Ebene/Gerade sind.

Wenn du noch eine genauere Erklärung und Beispielaufgaben zu diesem Thema benötigst, dann lies gerne unseren Artikel "Lagebeziehung von Geraden und Ebenen" durch.

(Video) Orthogonale Projektion (Vektoren) + Beispiele

Orthogonale Vektoren – Aufgaben

In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen testen!

Aufgabe 4

"Die Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (50) sind orthogonal." Nehme zu dieser Aussage Stellung.

Lösung

Um diese Aussage zu prüfen, musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (51)

Deine Antwort könnte wie folgt lauten:

Diese Aussage wäre nur richtig, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ergeben würde. Da das Skalarprodukt aber -6 ergibt, sind die beiden Vektoren nicht orthogonal und die Aussage somit falsch.

Aufgabe 5

Stelle einen Vektor auf, der orthogonal auf Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (52) steht.

Lösung

Als Erstes setzt du den bekannten Vektor in die Formel ein.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (53)

Im Anschluss kannst du dir zwei der drei Variablen des fehlenden Vektors aussuchen. In diesem Beispiel nehmen wir Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (54).

Die Werte setzt du in die Formel ein und löst diese so weit wie möglich.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (55)

Der Vektor Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (56) steht orthogonal zum Vektor

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (57)

.

Aufgabe 6

Liegen die Vektoren Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (58) orthogonal zueinander?

Lösung

Hier musst du die Vektoren in die Formel einsetzen und diese dann so weit wie möglich auflösen.

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (59)

(Video) Skalarprodukt (Herleitung + Beispiel)

Die beiden Vektoren sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

Orthogonale Vektoren - Das Wichtigste

  • Orthogonal ist ein Synonym für senkrecht.
  • Orthogonale Vektoren schließen zusammen einen Winkel von 90° ein.
  • Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist: Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (60)
  • Das Skalarprodukt von nicht-orthogonalen Vektoren ist Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis (61)
  • Um einen orthogonalen Vektor aufzustellen,
    • können zwei der drei Variablen frei gewählt werden.
    • muss die dritte Variable mit der Formel, durch Auflösen und Umstellen, berechnet werden.

FAQs

Orthogonale Vektoren: Definition, Bestimmung & Beweis? ›

Vektoren. Zwei Vektoren sind somit zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Der Nullvektor ist dabei zu allen Vektoren orthogonal.

Wie bestimmt man ob Vektoren orthogonal sind? ›

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Wie prüft man Orthogonalität? ›

a) Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander (sind orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Somit sind die Vektoren senkrecht aufeinander. b) Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander (sind orthogonal), wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ist.

Wie berechnet man ob zwei Geraden orthogonal sind? ›

In Worten kann man also sagen: die Steigung der Orthogonalen ist gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung. Orthogonalitätsbedingung: Zwei Geraden g und h stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt. In Zeichen: g⊥h⇔m1⋅m2=−1 bzw.

Wann sind 3 Vektoren orthogonal zueinander? ›

Da b → ( t ) und n → ( t ) auch senkrecht (orthogonal) zueinander sind und die Länge aufweisen, bilden die drei Vektoren eine positiv orientierte Orthogonalbasis. Das bedeutet also, dass alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Wann liegt Orthogonalität vor? ›

In der Elementargeometrie nennt man zwei Geraden oder Ebenen orthogonal (bzw. senkrecht), wenn sie einen rechten Winkel, also einen Winkel von 90°, einschließen. In der linearen Algebra wird der Begriff auf allgemeinere Vektorräume erweitert: zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Was ist wenn das Skalarprodukt 0 ist? ›

Da ihr Skalarprodukt 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Wie viele orthogonale Vektoren gibt es? ›

Anschaulich gesehen, gibt es unendlich viele Vektoren, die zu einem einzigen gegebenen Vektor senkrecht stehen. Beispielsweise können x = 0 und y = - 5 festgelegt werden.

Was ist der Unterschied zwischen orthogonal und parallel? ›

Haben zwei Geraden eine identische Steigung, dann sind diese parallel. Hat das Produkt aus den Steigungen von zwei Geraden den Wert −1, dann sind die beiden Geraden orthogonal.

Wann schneiden sich Geraden senkrecht? ›

Parameterform. Bei Geraden, die je durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor gegeben sind, überprüft man die Richtungsvektoren auf Orthogonalität: Vorausgesetzt g 1 \ g_1 g1 und g 2 g_2 g2 schneiden sich, so stehen sie senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt.

Wie berechnet man Winkel zwischen Vektoren? ›

Den Winkel φ zwischen zwei Vektoren u → \overrightarrow u u und v → \overrightarrow v v entspricht dem Arkuskosinus vom Skalarprodukt der Vektoren geteilt durch das Produkt ihrer Längen.

Ist senkrecht und orthogonal das gleiche? ›

Was ist orthogonal? Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander (oder auch: senkrecht aufeinander), wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.

Was ist der Unterschied zwischen senkrecht und orthogonal? ›

Das Wort orthogonal verlangt immer zwei Dinge, die dann miteinander einen 90-Grad-Winkel bilden: die zwei Geraden sind orthogonal zueinander. Orthogonal meint damit dasselbe wie "senkrecht auf", wird aber umgangssprachlich nicht verwendet.

Wie viele orthogonale Vektoren gibt es? ›

Anschaulich gesehen, gibt es unendlich viele Vektoren, die zu einem einzigen gegebenen Vektor senkrecht stehen. Beispielsweise können x = 0 und y = - 5 festgelegt werden.

Wie findet man heraus ob zwei Vektoren parallel sind? ›

Zwei Vektoren sind dann zu einander parallel, wenn ein Vektor ein Vielfaches vom anderen Vektor ist.

Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren? ›

Skalarprodukt berechnen

Das Skalarprodukt erhält man folglich, indem man die jeweiligen Komponenten multipliziert und anschließend addiert. Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a → = ( 2 − 4 0 ) und b → = ( 3 2 5 ) .

Videos

1. Bilinearform einfach erklärt :) | Math Intuition
(Math Intuition)
2. Beweis der Orthogonaliät von Vektoren
(Mathequeen)
3. Skalarprodukt: Sind die Geraden orthogonal?
(Formelfabrik - Mathenachhilfe)
4. Orthogonale Matrizen | Definition & Eigenschaften
(MathePeter)
5. Vektorielle Beweise, Nachweis mit Vektoren, Orthogonalität, Parallelität
(Kochrezepte für Mathematik)
6. Darstellung von Unterräumen und Bestimmung des orthogonalen Komplements
(Mathe für WiWis)

You might also like

Latest Posts

Article information

Author: Kelle Weber

Last Updated: 09/08/2022

Views: 6050

Rating: 4.2 / 5 (53 voted)

Reviews: 84% of readers found this page helpful

Author information

Name: Kelle Weber

Birthday: 2000-08-05

Address: 6796 Juan Square, Markfort, MN 58988

Phone: +8215934114615

Job: Hospitality Director

Hobby: tabletop games, Foreign language learning, Leather crafting, Horseback riding, Swimming, Knapping, Handball

Introduction: My name is Kelle Weber, I am a magnificent, enchanting, fair, joyous, light, determined, joyous person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.